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分數(shù)布朗運動及其在保險金融中的應(yīng)用

來源:360百科

基本信息

副題名

外文題名

論文作者

張驊月著

導(dǎo)師

郭軍義指導(dǎo)

學(xué)科專業(yè)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

學(xué)位級別

博士論文

學(xué)位授予單位

南開大學(xué)

學(xué)位授予時間

2007

關(guān)鍵詞

布朗運動 隨機分析 風(fēng)險分析 金融 保險

館藏號

F224.7

館藏目錄

2009\F224.7\4

中文摘要

自19世紀60年代,Mandelbrot使科學(xué)界注意"長程相關(guān)性"以來,這個概念變得越來越重要。如今,具有長程相關(guān)性的隨機模型已經(jīng)激發(fā)了人們很大的研究興趣,并且被成功地應(yīng)用到不同領(lǐng)域。例如,在排隊系統(tǒng),流體模型,通信網(wǎng)絡(luò)模型,交通模型,儲存模型和金融。參閱[21],[41],[62],[68],[80],[81],[82], [96],[102]和[106]。 分數(shù)布朗運動是一個常被使用的具有長程相關(guān)性的過程。關(guān)于分數(shù)布朗運動的研究最早可追溯到Kolmogorov[58],并命名為Wiener螺線。Mandelbrot和Van Ness在一篇開創(chuàng)性的論文[69]中首次提出了"分數(shù)布朗運動"這一名字。關(guān)于分數(shù)布朗運動的詳細介紹,參閱[30]或[94]。 分數(shù)布朗運動作為一種模擬工具有時比標(biāo)準(zhǔn)布朗運動更加靈活。它被用來模擬工程學(xué),物理學(xué)和金融數(shù)學(xué)中的各式各樣的隨機數(shù)據(jù)。本文我們集中考慮它在保險金融中的應(yīng)用。 最近幾年保險金融正在蓬勃發(fā)展并且取得想當(dāng)豐碩的成果。集體風(fēng)險理論所關(guān)心的是保險公司的總資產(chǎn)和風(fēng)險余額的隨機波動。對于古典風(fēng)險模型,索賠過程是用一個具有空間齊次性和獨立增量性的復(fù)合泊松過程來描述的。根據(jù)過程的弱收斂,[52]用帶漂移的布朗運動來近似風(fēng)險過程。在風(fēng)險理論中,一個擴散近似的現(xiàn)代版本被[34]和[35]給出。由于它們比較完美的性質(zhì),幾乎所有的精算變量包括破產(chǎn)時間、破產(chǎn)前余額、破產(chǎn)時赤字的精確結(jié)果都已經(jīng)被得到。近來,兩個風(fēng)險模型下的一些最優(yōu)問題包括再保險、投資和分紅被關(guān)注,并且部分已得到解決。 迄今,人們一直用具有馬爾科夫性的隨機過程來描述索賠過程。但在大部分情形下,保險公司的索賠過程呈現(xiàn)出長程相依性:給定時刻t后過程的行為,不僅依賴于t時刻的信息,而且還依賴于時刻t以前的歷史。這種現(xiàn)象是不容忽視的并且很可能對不同的問題產(chǎn)生影響,例如償付能力,定價及最優(yōu)再保險水平等等。因此,最近分數(shù)布朗運動被用來模擬保險公司可能面臨的索賠,(參閱[3], [20],[32],[33],[75]和[76])。 在幾何布朗運動的框架下,Black和Scholes建立了著名的期權(quán)定價理論。然而,古典金融資產(chǎn)的數(shù)學(xué)模型仍不完善。兩個明顯的問題存在于Black-Scholes公式中,即金融資產(chǎn)的價格過程不總是高斯和馬爾科夫的。為了更好地描述金融資產(chǎn)的價格,人們引入了更一般的模型,例如重尾Levy過程和隨機波動率模型。后來,通過重標(biāo)極差法(R/S),研究人員發(fā)現(xiàn)證券市場的波動有明顯的持久性,然后他們試著用分數(shù)布朗運動模擬股價和其他資產(chǎn)價格,參閱[36],[37]和[70]。 研究包括分數(shù)布朗運動的隨機微分方程所描述的系統(tǒng)是很自然的。在此體系下,一些標(biāo)準(zhǔn)問題,例如預(yù)報、參數(shù)估計和濾波已經(jīng)得到了很好的解決,參考[12], [14],[38],[54],[55],[56],[60],[78]和[86]。保險和金融中的優(yōu)化問題已經(jīng)吸引了人們很大的興趣。然而,大部分的結(jié)果是在馬爾科夫控制系統(tǒng)下得到的。所以,在更廣的環(huán)境下研究最優(yōu)控制問題有其理論和實際價值。最近人們開始注意到分數(shù)布朗運動擾動的系統(tǒng)下的最優(yōu)控制間題。例如,[23]嘗試著去解一般的最優(yōu)間題。[46]和[47]莫定了分數(shù)布朗運動市場上最優(yōu)理論和最優(yōu)消耗的基礎(chǔ)。[49]研究了stop-loss-start-gain投資組合并且給出了標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)定價的內(nèi)在價值和時間價值的Carr-Jarrow分解。 另一方面,線性二次規(guī)劃是一個典型而且重要的隨機控制類,它可以被解決通過一個相關(guān)的黎卡提方程。就我們知道的,[57]得到一個有限時間區(qū)間上簡單線性二次規(guī)劃的完備解。[51]考慮了分數(shù)布朗運動所擾動下隨機線性系統(tǒng)的一些最優(yōu)控制間題。盡管如此,LQ問題仍沒有被完全展示。所以,我的博士畢業(yè)論文主要致力于分數(shù)布朗運動擾動體系下,保險金融中LQ間題的進一步研究。 但是,對于分數(shù)布朗運動隨機控制間題的研究,不可避免地要涉及到關(guān)于它的隨機微分,相關(guān)的隨機積分和微分方程。因為分數(shù)布朗運動不是半鞅,極其豐富的半鞅隨機積分理論不能直接應(yīng)用。下面,我們使用最近在[26]中定義地關(guān)于分數(shù)布朗運動的隨機微分。另外,由于分數(shù)布朗運動的非馬氏性,著名的Hamilton-Jacobi-Bellman方程不能被應(yīng)用但是我們可以采用鞅方法和完全平方的方法去解決相應(yīng)的控制問題。 本篇論文的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容安排如下: 第一章,我們介紹了分數(shù)布朗運動的定義、性質(zhì)及其關(guān)于分數(shù)布朗運動隨機積分理論的主要結(jié)果。 第二章,我們主要研究了分數(shù)布朗運動擾動下的古典風(fēng)險過程的最優(yōu)輸入間題。通過完全平方的辦法,最優(yōu)控制策略的分析解被得到。另外,我們還得到相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)。 第三章,我們在帶漂移分數(shù)布朗運動的風(fēng)險模型下,考慮了保險公司的最優(yōu)輸入和投資問題。我們給出了最優(yōu)策略存在的充分條件。借助于兩種不同的辦法,最優(yōu)策略的解被給出。另外,我們導(dǎo)出了相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)。最后,兩種特殊的情況被考慮。 第四章,在風(fēng)險需求和投資兩種控制下,我們研究了動態(tài)均值-方差問題?;贖JB方程的粘性解和拉格朗日乘子技術(shù),我們給出了古典的Cramér-Lundberg模型和擴散模型下有效前沿和有效策略的閉形式的解。 第五章,我們研究了動態(tài)均值-方差投資組合選擇問題,其中風(fēng)險過程是被分數(shù)布朗運動擾動的古典風(fēng)險過程。有效前沿和相應(yīng)的有效策略也被得到,并且與標(biāo)準(zhǔn)布朗運動情況下的結(jié)果進行了比較。 第六章,我們考慮了在分數(shù)Black-Scholes市場上,動態(tài)連續(xù)時間的均值-方差投資組合選擇問題。有效前沿和相應(yīng)的有效策略也被導(dǎo)出。我們展現(xiàn)了在分數(shù)布朗運動的均值-標(biāo)準(zhǔn)差圖上有效前沿仍然是一條直線。最后,我們在數(shù)值上比較了最優(yōu)終端財富的期望,方差分別與Hurst參數(shù),初始資本和無風(fēng)險利率之間的關(guān)系。 第七章,當(dāng)保費收入為時間的非線性函數(shù)時,我們給出了有限時間破產(chǎn)概率的上下界和無窮時間破產(chǎn)概率的顯式解。 需要指明,參考文獻末尾列舉了郭軍義教授和吳榮教授最近的一些工作。 關(guān)鍵詞:分數(shù)布朗運動 長程相關(guān) 風(fēng)險控制 古典風(fēng)險模型 均值-方差投資組合 隨機積分 有效前沿 完全平方辦法 隨機最大值原則 Hamilton-Jacobi-Bellman方程 半鞅 正倒向隨機微分方程 線性二次規(guī)劃 Malliavin導(dǎo)數(shù) Clark-Haussmann-Ocone定理 破產(chǎn)概率 學(xué)科分類號:93E20,60G15,60H07